[재료역학]5장.평면도형의 성질

목차

1. 단면 1차 모멘트

2. 단면 2차 모멘트

3. 극단면 2차 모멘트

4. 단면 상승 모멘트

5. 평행축 이동 정리

6. 극단면계수

7. 회전반경

 

더럽게많네.. 짧게 핵심만 ㄱㄱ

 

1. 단면 1차 모멘트

 

먼저 도심을 알아보자.

도심이란 무게중심을 말한다.

xy평면에서 한 축을 기준으로 무게중심을 잡을 수 있다. 

간단하게 물체를 점으로 표현하고 (3,4)의 좌표평면에 위치한다면

x축으로부턴 4만큼 y축으로부턴 3만큼 떨어져 있는것이다.

즉 x에 대한 도심은 4, y에 대한 도심은 3.

간단하죠?

 

단면1차모멘트는 면적모멘트, 1차 관성모멘트로 불리기도 한다.

결론 먼저 말하면 Gx=A*y다. 

Gx는 x축에 대한 단면1차모멘트, A는 면적 y는 도심

 

도대체 이걸 어디에 써먹나요?

내 기억상으론 보속의 응력, 전단응력에서 타우는=Fb/IQ였나. 여기서 Q가 단면1차모멘트다.

그런데 사실 저 공식도 거의 써먹지 않는다. 

그 이유는 나중에 해당단원이 되면 포스팅하도록 하겠다.

 

그럼 저걸 어디다 써먹나요? 그냥 도심찾을 때 쓴다.

기호삽입이 귀찮으므로 공식은 생략한다. 

말로 설명하면 구하려는 물체의 형상을 계산하기 쉽게 잘라버리고

그 각각의 (단면*도심)의 합은 전체(단면*도심)과 같다라는 식에서 도심을 구한다. 

 

 

2. 단면 2차 모멘트

단면1차모멘트와 구하는 과정은 같고 다른 것은 도심제곱을 해서 구하면 된다.

단면2차모멘트=면적*도심^2

이것은 기호로 I로 쓰는데 여기저기 많이 써먹는다.

특히 단면의 형상에 따라

네모는 (bh^3)/12, 원형은 (pi*d^4)/64

는 필히 암기하여야 한다. 유도를 한번해보면 더욱 좋고 (별로 어렵지 않다)

 

 

 

3. 극단면 2차 모멘트

 

이 녀석은 도심을 축기준으로 하는 것이 아니라 원점을 기준으로 잡는다.

그리고 2차니깐 도심길이^2 해주면 되겠지요.

 

 

4. 단면 상승 모멘트

면적에 2차축 각각의 도심길이를 곱한다.

단면 상승 모멘트=면적*x축으로 부터 도심길이*y축으로 부터 도심길이

이건 도저히 써먹을데가 없다. 최소한 일반기계에선 말이다.

공무원 기출인가 공기업 기출인가 아주 가끔 한문제 정도는 나오는 것 같다.

단면 상승 모멘트가 0 인것이 무엇을 뜻하는지.

무엇을 뜻하겠는가? 공식을 보면 면적이 0 일수는 없고 나머지 둘중에 하나가 0이거나 둘다 0일 때이다.

즉 물체의 도심이 x축위에 있거나, y축 위에있거나, 원점에 있거나 요 3가지 케이스 중 하나라는 것이다.

이 정도만 알면 마스터다.

 

5. 평행축 이동 정리

도심에서 떨어져 있는 거리에서 단면2차모멘트를 구할 때 쓴다.

위의 글들을 잘 읽었다면 공식보고 바로 이해할 수 있을것이다.

공식은 생략하며, 이 개념은 동역학에서도 활용할 수 있다.

 

6. 극단면계수

단면 2차모멘트를 도심에서 끝단까지의 거리를 나눈값이다.

즉 사각형이나 원형같이 대칭은 어느쪽을 구하든 극단면 2차모멘트의 값은 같으나,

삼각형 같이 도심이 밑단으로 부터 1/3지점에 있으면, 도심으로 부터 위아래 길이값이 달라진다.

즉 극단면 2차 모멘트가 두개가 나와버린다.

하지만 전혀 쓸데가 없으니 그냥 원리 파악정도로 생각하고 이해하자.

극단면 계수는 나중에 토크를 구하는데 많이 써먹는다. 

 

7. 회전반경

K=root(I/A)

K: 회전반경, I: 단면 2차 모멘트, A: 면적

 

Q. 이 지저분하고 이상한 식은 뭔가요?

A. 그냥 외우세요. 나중에 핵심반경이랑 좌굴응력 배울때 써먹을겁니다.

 

공식대로 한번 이해해보도록 하자.

단면 2차 모멘트는 위에 면적*도십길이^2이라 하였다.

이걸 면적으로 나눠요. 그럼 도심길이^2만 남겠지. 여기에 루트를 씌우면?

도심길이만 남습니다. 아하~ 도심길이와 같은 것이구나

 

하지만 제곱에 루트를 씌웠으니 값은 플마 도심길이가 됩니다.

결과적으로 생긴 이 두개의 점으로 단주해석이나 할때 써먹는다.

이걸 3차원으로 다시 보면 말그대로 회전반경이 되버리는 것이고, 

그냥 굳이 몰라도 되는 내용이다.

 

 

이상으로 포스팅을 마칩니다.